العددين الأوليين هما توائم، والأرقام تنتمي إلى سبع مجموعات رياضية مختلفة، وكل مجموعة هي مجموعة فرعية من المجموعة الأخرى، ومن خلالها سنخصص الحديث عن مجموعة الأعداد الأولية، والأعداد الأولية المزدوجة للمجموعة.
ما هي الأعداد الأولية
الأعداد الأولية هي مجموعة الأعداد الموجبة الأكبر من واحد، بحيث تكون قابلة للقسمة فقط على نفسها وواحد، أي أنها تحتوي على قسومتين فقط، على عكس الأعداد المركبة، التي تبسط إلى الأعداد الأولية بسبب وجود عدة عوامل من العدد المركب، وتجدر الإشارة إلى أن الرقمين (0)، 1 يتم استبعادهما دائمًا من قائمة الأعداد الأولية والأرقام المركبة، لأن مجموعة الأعداد الأولية تبدأ بالرقم 2، وهو الرقم الأولي الزوجي الوحيد منذ ذلك الحين جميع الأعداد الأولية فردية.
الأعداد الأولية المزدوجة هي
- العددين الأوليين (بالإنجليزية Twine prime) هما عددين أوليين فرقهما اثنان.
لا يعتبر الزوج (2،3) زوجًا من الأعداد الأولية المزدوجة، حيث أن الفرق بينهما يساوي عددًا صحيحًا واحدًا، لذا فإن 2 هو الرقم الأولي الوحيد، ومجموعة أزواج الأعداد الأولية المزدوجة تبدأ من أصغر زوج، والذي هو (3، 5)، وتجدر الإشارة إلى أنه كلما زادت قيمة الأعداد الأولية كلما قل عدد أزواج الأعداد الأولية التوأم.
أمثلة على الأعداد الأولية المزدوجة
تتضمن أمثلة الأعداد الأولية المزدوجة ما يلي
- (3، 5)
- (5، 7)
- (11، 13)
- (17، 19)
- (29، 31)
- (41، 43)
- (56، 61)
- (71، 73)
- (101، 103)
نلاحظ من الأمثلة السابقة أن الرقم 5 هو الرقم الوحيد الذي ينتمي إلى مجموعتين من الأعداد الأولية المزدوجة، وأنه كلما زادت قيمة الأرقام، قل وجود أزواج الأعداد الأولية المزدوجة، حيث تصبح نادرة كلما تقدمنا في خط الأعداد.
خصائص الأعداد الأولية
الأعداد الأولية لها مجموعة من الخصائص التي تميزها عن غيرها، ومنها
- جميع الأعداد الأولية هي أعداد فردية ماعدا الرقم 2 هو عدد زوجي.
- أي رقم ينتهي بالأرقام (0، 5) ليس عددًا أوليًا، لأنه يحتوي على عدة قواسم، على سبيل المثال
- العدد 40 عامل (5، 8، 1، 4، 10، 2، 20)
- إذا كان مجموع الأرقام المكونة للرقم هو مضاعف 3، فهو ليس عددًا أوليًا، على سبيل المثال
- 36 ليس عددًا أوليًا، و 6 + 3 = 9 مضاعفات للعدد 3
- أي عدد أولي أكبر من 3 هو مجموع عددين أوليين، على سبيل المثال
- 7 عدد أولي هو مجموع 5 و 2 أعداد أولية.
- كلما زادت قيمة العدد الأولي، زادت المسافة بينه وبين الرقم الأولي التالي.
أمثلة على الأعداد الأولية
تتضمن أمثلة الأعداد الأولية ما يلي
- مثال 1 اسم كل الأعداد الأولية الأصغر من 7
- 2، 5
- المثال الثاني هل 50 عدد أولي
- العدد 50 ليس عددًا أوليًا، لأنه يحتوي على عدة عوامل مثل (5، 10، 1).
- المثال الثالث ما هي الأعداد الأولية بين العددين (20، 30)
- 23، 29 هي الأعداد الأولية بين 20 و 30.
- المثال الرابع هل 126 عدد أولي
- العدد 126 ليس عددًا أوليًا، لذا فإن مجموع أرقامه التسعة هو مضاعف 3.
- المثال الخامس هل 10 عدد أولي
- العدد 10 ليس عددًا أوليًا لأنه يحتوي على عدة عوامل (2، 5، 1، 10).
ها قد وصلنا إلى نهاية مقالنا العددين الأوليين هما توائم، حيث نلقي الضوء على الأعداد الأولية وخصائصها وبعض الأمثلة عليها، والتوائم الأولية والعديد من الأمثلة عليها.