كيف أحسب متوسط النقاط الحسابي؟
يعتبر المتوسط الحسابي أشهر مقياس يستخدم في الاتجاه المركزي للتخصص الإحصائي، حيث يساهم في تحديد النقطة التي تلتقي عندها النقاط الأخرى. فيما يلي سنشرح كيفية حسابها حسب نوع العملية
احسب متوسط مجموعة البيانات
يُعرف المتوسط الحسابي عمومًا بأنه ناتج قسمة مجموع البيانات على رقمها. يتم حسابه باتباع الخطوات التالية
- نقوم بجمع قيم البيانات في المسألة الرياضية.
- نقسم المجموع على عدد هذه القيم.
- المتوسط الحسابي هنا هو حاصل القسمة.
- يمكن التعبير عن المتوسط الحسابي بالصيغة الرياضية التالية
- الوسط الحسابي = مجموع قيم البيانات ÷ العدد الإجمالي للقيم.
- م = (x1 + x2 + …. + xn) ÷ n، حيث
- م هو الوسط الحسابي.
- س هي قيمة البيانات.
- n يساوي العدد الإجمالي للقيم.
حساب المتوسط الحسابي في جداول التردد
في حالة وجود مجموعة كبيرة من القيم، وهناك قيم ثابتة، يتم حسابها في جدول متكرر مع مربع في هذا الجدول يوضح عدد مرات تكرار القيمة وواحد، وبالتالي يتم حساب المتوسط الحسابي على النحو التالي
- تحديد مكانة الفئة من خلال القانون الآتي
- مركز الفئة (م) = (الحد الأقصى + الحد الأدنى) ÷ 2.
- اضرب ناتج مركز الفئة في عدد تكراره وفقًا للقانون (مركز الفئة × التردد المقابل للفئة).
- احصل على مجموع تكرار الفصل في مركزه.
- احصل على العدد الإجمالي للتكرارات.
- استخرج الوسيلة الحسابية باتباع المعادلة الرياضية التالية
- الوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب مركز الفئة مضروبًا في تردده ÷ مجموع تردداته.
- م = (xxt) ∑ ÷ ن.
مشاكل في حساب المتوسط الحسابي للدرجات
لفهم قوانين حساب المتوسط الحسابي للبيانات أو في الجداول التكرارية يجب أن نذكر لكم بعض الأسئلة وإجاباتها
العدد الأول
حساب المتوسط الحسابي للدرجات التي حصل عليها الطالب مصطفى في نهاية الفصل الدراسي وهي 76٪ للرياضيات، 89٪ للعلوم، 92٪ للغة العربية، و 88٪ للدراسات الاجتماعية، بينما للغة الإنجليزية درجة. من 95٪
- الوسط الحسابي = مجموع القيم (الدرجات) ÷ عددها (عدد المواد).
- القيم الإجمالية = 76 + 89 + 92 + 88 + 95 = 440.
- عدد المواد خمس مواد.
- المتوسط الحسابي = 440 5 = 88.
- معدل الطالب مصطفى 88٪.
العدد الثاني
في الجدول التالي توزيع الدرجات الأكاديمية في اللغة العربية لما يعادل 100 طالب تجد ناتج المتوسط الحسابي لهذه العلامات
| درجة الفصل | تكرار |
| 10-19 | 0 |
| 20 – 29 | 5 |
| 30 – 39 | 11 |
| 40-49 | 15 |
| 50 – 59 | 17 |
| 60 – 69 | 19 |
| 70-79 | 20 |
| 80-89 | 8 |
| 90-99 | 5 |
- أول شيء يجب حساب موضع الفئات وفقًا للقانون م = (الحد الأقصى + الحد الأدنى) ÷ 2 على النحو التالي
- موضع الفئة 1 = (19 + 10) / 2 = 14.5.
- موضع الفئة 2 = 24.5.
- موضع الفئة 3 = 34.5.
- موضع الفئة 4 = 44.5.
- موضع الفئة 5 = 54.5.
- موضع الفئة 6 = 64.5.
- موضع الفئة 7 = 74.5.
- موقع الفئة 8 = 84.5.
- موضع الفئة 9 = 94.5.
- نجد حاصل ضرب مركز الفئة في التردد المقابل كالتالي
| درجة الفصل | تكرار | مركز التصنيف × التردد |
| 10-19 | 0 | 14.5 × 0 = 0 |
| 20 – 29 | 5 | 24.5 × 5 = 122.5 |
| 30 – 39 | 11 | 34.5 × 11 = 379.5 |
| 40-49 | 15 | 44.5 × 15 = 667.5 |
| 50 – 59 | 17 | 54.5 × 17 = 926.5 |
| 60 – 69 | 19 | 64.5 × 19 = 1225.5 |
| 70-79 | 20 | 75.5 × 20 = 1490 |
| 80-89 | 8 | 84.5 × 8 = 676 |
| 90-99 | 5 | 94.5 × 5 = 472.5 |
| المجموع | 100 | 5960 |
- نحسب المتوسط الحسابي، حيث يكون حاصل ضرب مركز الفئة بالتردد على مجموع الترددات كما يلي
- الوسط الحسابي = 5960 100 = 59.60.
متى يحدث تغيير في المتوسط الحسابي للدرجات؟
يمكن أن تتغير قيمة المتوسط الحسابي للدرجات في الحالات التالية
- إذا تم استبعاد طالب من الحسابات، سينخفض عدد الطلاب وسيتأثر متوسط القيمة.
- من الضروري هنا إعادة حساب المتوسط الحسابي وفقًا للعدد الجديد من الطلاب.
كيفية حساب المتوسط الحسابي للاستبيان
سنوضح لك الخطوات التالية لحساب المتوسط الحسابي للاستبيان في حالة استخدام الطريقة اليدوية
- حدد العنصر المراد حساب المتوسط الحسابي له.
- تجميع قيم البيانات في البنك باستخدام الآلة الحاسبة.
- عد القيم الموجودة.
- قسّم حاصل ضرب مجموع القيم على عددها لتحصل على الوسط الحسابي.
- وتجدر الإشارة إلى أنه في حالة استخدام برنامج Excel يمكن حساب المتوسط بالطرق التالية
- اكتب الأمر يدويًا.
- استخدام دالة المتوسط الحسابي (AVERAGE) بعد تحديد العمود الذي توجد فيه البيانات.
كيفية حساب المتوسط الحسابي للنسب المئوية
يتم حساب المتوسط الحسابي في حالة النسب كما يلي
- فهم جيد للنسب إذا كان لدينا صندوق به 100 كيس، وهذا الرقم يشمل 40٪ من الأكياس الحمراء، فهذا يعني أن عدد الأكياس الحمراء هو 40، أما إذا كان الصندوق يحتوي على 20 كيسًا فقط، فهذا يدل على وجود 8 أكياس حمراء.
- تحويل النسب المئوية يعني تحويلها إلى أعداد عشرية بقسمة هذه النسب على 100.
- ضرب النسب المئوية بالأرقام التي تمثلها في هذه الخطوة، نعمل على ضرب النسب المئوية لكل عنصر في الفئات المختلفة لمعرفة العدد الفعلي له.
- إضافة أرقام متشابهة نقوم هنا بجمع العدد الفعلي للعناصر وإضافته إلى النسبة المئوية المشابهة له.
- حساب المتوسط وهو بقسمة مجموع العناصر على النسبة المئوية على إجمالي عدد العناصر.
أمثلة مختلفة من الوسط الحسابي
فيما يلي المزيد من الأسئلة في الأسطر التالية لتوضيح كيفية حساب المتوسط الحسابي
العدد الأول
- لدينا 8 لاعبين في فريق كرة القدم، ويبلغ ارتفاع 7 لاعبين منهم 1.7 م، 1.8 م، 1.85 م، 1.9 م، 1.86 م، 1.77 م، 1.92 م، بينما المتوسط الحسابي لارتفاع جميع اللاعبين هو 1.82 م فما هو الارتفاع الحقيقي للاعب الثامن
- المتوسط الحسابي = مجموع ارتفاع اللاعبين ÷ عدد اللاعبين.
- إجمالي ارتفاع اللاعبين = 1.7 + 1.8 + 1.85 + 1.9 + 1.86 + 1.77 + 1.92 + ص
- الطول الإجمالي للاعبين = 12.8 + ص.
- عدد لاعبي كرة القدم = 8.
- المتوسط الحسابي = 1.82
- وفقًا للمعادلة، 1.82 = (12.8 + ص) ÷ 8
- أي 14.56 = 12.8 + ص.
- ص = 14.56 – 12.8 = 1.76.
- أي أن طول اللاعب الثامن 1.75 م.
العدد الثاني
في الجدول التالي لدينا الأجور اليومية لـ 50 عاملاً، ما هو المتوسط الحسابي لهذه الأجور
| أجور العمال | عدد العمال |
| 500 | 3 |
| 450 | 5 |
| 400 | 6 |
| 350 | 11 |
| 300 | 9 |
| 250 | 8 |
| 220 | 8 |
- خطوات حل هذه المشكلة هي الحصول على موضع الفئة أولاً. كما ذكرنا أعلاه، فإن موضع الفئة هو مجموع الحدين العلوي والسفلي ويقسم النتيجة على 2، وهنا لا يوجد حد أعلى وأدنى منذ تحديد الأجور.
- سيكون مركز الفئة هو نفسه أجر العامل، والذي سنستخدمه في الضرب بالتردد للحصول على المتوسط الحسابي على النحو التالي
| أجور العمال | عدد العمال | مركز التصنيف × التردد |
| 500 | 3 | 900 |
| 450 | 5 | 2250 |
| 400 | 6 | 2400 |
| 350 | 11 | 3850 |
| 300 | 9 | 2700 |
| 250 | 8 | 2000 |
| 220 | 8 | 1760 |
| المجموع | 50 | 15860 |
- نحسب المتوسط الحسابي، وهو نتيجة قسمة مجموع حاصل ضرب مركز الفئة في التردد على مجموعة الترددات
- المتوسط الحسابي = 15860 50 = 317.2.
شروط حساب الوسط الحسابي
الشروط الواجب مراعاتها عند حساب المتوسط الحسابي هي
- جميع الأرقام ثابتة بالإضافة إلى الأرقام الحقيقية وغير القابلة للتغيير.
- يجب أن يكون لكل رقم قيمة، ويجب أن يكون لجميع الحسابات قيمته الفريدة.
- وتجدر الإشارة إلى أن المتوسط الحسابي هو رقم نسبي لأنه لا ينتمي إلى قيم البيانات.